お母様がお亡くなりになったということですので、まずは相続人の名義で建物の登記をして下さい。
その後、地主様に連絡を取っていただき、前借地人であるお母様が亡くなられたことを伝えて、相続人と土地賃貸借契約を締結することが必要です。更新前であれば以前の契約が引き継がれるのですが、更新期間を過ぎているとの事ですので、まず、条件などについてはしっかりと地主様と相談なさることをお勧め致します。

基本的に借地権者様が他界なさっても、相続人がその地位を継承します。相続人が複数いらっしゃる場合、不動産に関しては単独で相続されるほうがトラブルを回避できるため、不動産を相続される以外の人は、他の財産で調整を測るのがいいでしょう。